SEARA DA CIÊNCIA
    
ALGUNS PROBLEMAS FAMOSOS DA MATEMÁTICA

A conjectura de Kepler

Qual é a forma mais compacta de empilhar esferas de mesmo raio? Esse é um problema que sempre interessou os produtores de laranjas ou maçãs que querem, com razão, economizar engradados.

Em 1611, Johannes Kepler, aquele mesmo que enunciou as leis das órbitas planetárias, conjecturou que esse arranjo de densidade máxima seria um empilhamento conhecido como "cúbico de face centrada" (CFC). O próprio Kepler, porém, não foi capaz de provar esse palpite e passou a bola para outros matemáticos.

Acontece que o problema revelou-se mais difícil do que aparentava inicialmente. Quem conseguiu fazer essa demonstração, já no século 19, foi o grande matemático Karl Gauss. Na verdade, o que Gauss demonstrou foi que o arranjo CFC é o mais denso dos arranjos regulares. Em um arranjo regular, há uma periodicidade na disposição dos planos de esferas. A demonstração de Gauss, portanto, não inclui a possibilidade de haver um arranjo desordenado mais denso que o arranjo CFC.

Para visualizar o arranjo "cúbico de face centrada" (CFC) imagine um cubo e coloque uma esfera em cada vértice desse cubo. Depois, coloque uma esfera no centro de cada face do cubo. Todas as esferas devem ter o mesmo raio. Por fim, imagine que cada aresta do cubo vai encolhendo simultaneamente até que cada esfera encoste em outras vizinhas e o encolhimento não possa prosseguir. A figura abaixo mostra, à esquerda, a estrutura CFC antes do colapso das arestas do cubo. A figura à direita mostra a estrutura já compactada.

O arranjo CFC equivale, em densidade, a outro tipo de arranjo, chamado de "hexagonal compacto", ou HCP. Ambos têm a mesma densidade (aproximadamente 74%) e um pode ser transformado no outro por um simples deslocamento dos planos de esferas. A receita para montar um arranjo de máxima densidade (CFC ou HCP) é bastante simples. Basta cumprir os seguintes passos:

1) Forme a primeira camada sobre um plano horizontal cercando cada esfera com seis outras, todas encostadas compactamente. A figura A mostra como ficam as sete primeiras esferas dessa camada. A partir desse ponto, basta ir completando essa primeira camada. O arranjo obtido nessa camada forma hexágonos regulares em torno de cada esfera, como mostra a figura A.

2) A segunda camada é feita com esferas colocadas nas reentrâncias (espaços vazios) da primeira camada. A figura B mostra como são colocadas três esferas dessa segunda camada. A esferas da segunda camada foram pintadas de branco para melhor distingui-las das esferas da primeira camada.

3) Na terceira camada, temos duas possibilidades: uma resulta no arranjo CFC e a outra, no arranjo HCP. Elas são mostradas na figura C:

b) No primeiro caso, as esferas da terceira camada repousam nas reentrâncias da segunda, sobre os pontos vermelhos da figura. As esferas nesse arranjo, descrito como ABC, são localizadas nos círculos vermelhos. Esse é o arranjo da estrutura CFC.

a) Na outra possibilidade, a terceira camada é alinhada perfeitamente com a primeira. Esse arranjo, descrito como ABA, forma a estrutura HCP. Na figura C, as posições das esferas da terceira camada no arranjo HCP são indicadas por pontinhos azúis. As esferas não são mostradas na figura.

Um bom exercício de geometria espacial, que recomendamos, consiste em mostrar que a densidade dos arranjos CFC ou HCP vale:

.

Como dissemos antes, restava provar que os arranjos HCP e CFC são mais densos que qualquer arranjo, mesmo os aleatórios, sem ordem definida, conseguidos jogando as esferas ao acaso em uma caixa e chacoalhando a caixa. Pois bem, depois de inúmeras tentativas, essa prova foi finalmente obtida, em 1998, por Thomas Hales, da Universidade de Michigan. Novamente, como no caso do mapa de quatro cores, foi necessário apelar para computadores. A demonstração de Hales foi ainda mais elaborada que a dos pesquisadores de Illinois, usando uma série de programas com mais de 3 gigabytes de código.

Do mesmo modo que em relação à demonstração do mapa de quatro cores, muitos matemáticos continuam insatisfeitos e mantêm a esperança de que alguém, no futuro, consiga demonstrações formais, usando só a cabeça, papel e lápis.

Resta saber qual é a maior densidade que se pode conseguir com um arranjo aleatório das esferas. Esse problema ainda não foi resolvido mas há um consenso que deve valer por volta de 0,64. Além disso, hoje muita gente trabalha com variações desse problema incluindo esferas de raios variados. Essa é uma linha de pesquisa em plena atividade.


O último teorema de Fermat.